【摘要】 湊微分法指的是把被積分式湊成某個函數的微分的積分方法。不定積分的求解一直是高等數學的重點，但由于其方法的靈活性以及結果的不確定性，又一直是高等數學的難點。文章發表在《中國高教研究》上，是教育論文發表范文，供同行參考。

　　【關鍵詞】不定積分,湊微分, 換元積分法, 分部積分法, 醫用高等數學

　　微積分是醫用高等數學的基本和主要內容，在數學甚至是自然科學的發展階段中有著不可磨滅的貢獻，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里”[1]。

　　作者在教學之余，曾關于不定積分的求解方法總結過一句口訣“原函數，結牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”[2]。不定積分的常規求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即——“湊微分”。

　　1 換元積分法中的“湊微分”

　　換元積分法中的“湊微分”主要體現在第一類換元積分法中，其基本原理是：當〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出時，則將其轉化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的關鍵是第一步：將g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個常見的湊微分公式并不能給同學們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結為“一拆、二靠、三轉化”三步走，并且結合常見的不定積分公式求解，這樣同學們掌握起來就比較容易了。

　　1.1 “拆”

　　遇到一個不定積分題目，首先看其能否直接拆分成若干個函數的乘積，若能，則挨個觀察拆分成的函數能否湊微分，找出合適的進行湊微分求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：觀察到被積函數cosx2x 可以拆分成兩個函數的乘積：cosx·12x ，并且12x 可以進行湊微分從而變成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

　　1.2 “靠”

　　若一個不定積分不能直接拆分成若干個函數的乘積或可以拆分成若干個函數的乘積但是難以進行湊微分計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標去靠近從而求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通過觀察此不定積分不能直接進行拆分，但其與不定積分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

　　2 分部積分法中的“湊微分”

　　分部積分法主要適用于被積函數是兩個函數乘積形式(主要是反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數五類基本初等函數形式的乘積)的不定積分，主體內容可以概括為“一套公式、兩個步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等價于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗兩個基本步驟即：① 配微分，即將〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 變形為 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部積分公式求解、化簡(可以重復使用)。

　　教育期刊投稿須知：《中國高教研究》是教育部主管、中國高等教育學會主辦的學術理論性會刊，是全國唯一的國家一級高等教育學術理論刊物，是全國中文核心期刊，并于2001年12月經新聞出版署批準