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“特征信息”的捕捉與解題的最優化

來源:期刊VIP網所屬分類:數學時間:瀏覽:

  丁保榮在文〔1〕中,提出了一個十分重要的問題:通過捕捉題設(或結論)中的“特征信息”,優化解題思路.羅增儒教授在他的許多文章中也有精辟的論述,尤其是在解題分析中,非常重視解題速度、解題的最優化問題.〔2〕〔3〕

  文〔1〕的例1、例2的“特征信息”,其實都可以聯系到一個重要不等式:

  定理 若a,b∈R,則(a+b)2≥4ab.

  文〔1〕的例1盡管給出了三種解題思路,但是卻有美中不足:尚未揭示出其最優解題思路;例2雖巧妙地構造出二次方程,但仍然缺乏最優化思考.

  本文旨在展示平凡的定理(a+b)2≥4ab在“特征信息”聚焦時的最優化解題特征.

  首先,通過“等導不等”來證明這個定理:

  (a+b)2=4ab+(a-b)2≥4ab,

  當且僅當a=b時,等號成立.

  下面列舉一系列數學問題,其“特征信息”均可或顯或隱地聚焦于定理(a+b)2≥4ab.限于篇幅,解題時不作一一分析,只展現定理的最優化解題思路.

  例1 已知實數a,b,c滿足等式a=6-b,c2=ab-9,求證:a=b.  (文〔1〕例1)

  證明:依定理(a+b)2≥4ab,即62≥4(c2+9),得c=0,從而a=6-b,ab-9=0,解得a=b=3,故證畢.

  例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,則x,y,z成等差數列. (1979年全國高考題)

  證明:由題設知(z-x)2=4(x-y)(y-z),而依本文定理,則有(z-x)2=(x-z)2=〔(x-y)+(y-z)〕2≥4(x-y)(y-z),可見x-y=y-z,從而x,y,z成等差數列.

  例3 方程組x+y=2,的實數解的組數是(  ).

  xy-z2=1

  A.1  B.2  C.3  D.無窮多 (1987年上海市初中數學競賽試題)

  解:依定理知,(x+y)2≥4xy,則22≥4(z2+1),得z=0,原方程組化為

  x+y=2,顯然只有一解x=y=1,故選A.

  xy=1,

  例4 已知a,b,c都是實數,且a+b+c=0,abc=1,求證:a,b,c中必有一個大于3/2.  (1991年“曙光杯”初中數學競賽試題)

  證明:由題知,a,b,c中必有一個是正數,不妨設c為正數.依定理(a+b)2≥4ab,得(-c)2≥4·(1/c),或c3≥4,于是c≥>=3/2,故得證.

  注意:此處還有意外收獲,原題結論還可改進為:求證:a,b,c中必有一個不小于.

  例5 a,b,c,d都是小于1的正數,求證:在4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中,不可能都大于1.  (1962年美國數學競賽試題)

  證明:巧妙地逆用定理,注意4a(1-b)·4b(1-c)·4c(1-d)·4d(1-a)=4a(1-a)·4b(1-b)·4c(1-c)·4d(1-d)≤〔a+(1-a)〕2·〔b+(1-b)〕2·〔c+(1-c)〕2·〔d+(1-d)〕2=12·12·12·12=1,由此可見,4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中不可能都大于1.

  例6 已知x>0,y>0,且x+y=4,S=(6-x)·(5-y),求S的最大值.

  解:依定理,知4S=4(6-x)(5-y)≤〔(6-x)+(5-y)〕2=〔11-(x+y)〕2=(11-4)2=49,S≤49/4,當x=21/2,y=11/2時,Smax=49/4.

  當然,定理最主要還是應用于巧證不等式方面.

  例7 已知y-2x=z,求證:y2≥4xz.  (文〔1〕例2)

  證明:由題設,知y=2x+z.依定理,知(y)2≥4·2x·z,或2y2≥8xz,即y2≥4xz,證畢.

  縱觀以上各例,依定理解題,顯得規律有序,思路清晰,方法簡便,且顯然優于原來的方法.

  例8 正數x,y,z,a,b,c滿足條件a+x=b+y=c+z=k.求證:ax+by+cz

  證明:傳統證法大半是構造正三角形或正方形,利用面積關系證之.今依定理,即刻知  4ax+4by+4cz≤(a+x)2+(b+y)2+(c+z)2=k2+k2+k2=3k2,

  于是,ax+by+cz≤(3/4)k2

  可見,依定理還有意外收獲,得到原式的一個加強式:ax+by+cz≤(3/4)k2.而這一加強難在傳統證法中體現出來.

  例9 已知a>1,b>1,c>1,求證:

  (a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥12.

  證明:依定題,知a2=〔(a-1)+1〕2≥4(a-1)·1=4(a-1).同理b2≥4(b-1),c2≥4(c-1),于是,(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥

  4(((a-1)/(b-1))+((b-1)/(c-1))+((c-1)/(a-1)))≥4·3=12,證畢.

  例10 設x,y為非負數,且滿足x+y=1,求證:

  1+≤+≤2.

  證明:考慮(+)2=2(x+y)+2+2=4+2,或+=,依題知及定理,有0≤4xy≤(x+y)2=1,故≤+≤.

  于是1+≤+≤2,證畢.

  定理(a+b)2≥4ab的優化解題功效遠不止這些,只要留心些,讀者必定還會有所發現和創新.令人振奮的是,從基本不等式a+b≥2,平方即可得(a+b)2≥4ab;但令人遺憾的是,a+b≥2的應用,已是老生常談,而(a+b)2≥4ab卻少見報道.筆者試圖通過本文,借以引為重視!

  參考文獻

  1 丁保榮.信息與解題.中學數學教學參考,2001,5

  2 羅增儒.看透本質,優化過程.中學數學教學參考,2001,6

  3 羅增儒.數學解題學引論.西安:陜西師范大學出版社,1997

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