摘 要：該文針對帶界面的橢圓最優控制問題，先采用拉格朗日方法推導出該最優控制問題的最優性條件，然后運用浸入有限元和變分離散相結合的方法得到離散的最優性條件并給出離散最優性條件的兩種優化算法。對控制無約束的情況，離散系統是對稱非正定的方程組，采用塊對角預處理MINRES算法求解。對控制帶約束的情形，采用不動點迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。最后給出數值例子說明方法的有效性.

　　關鍵詞：橢圓最優控制 浸入有限元 不動點迭代 變分離散

　　偏微分方程的最優控制問題是一個非常活躍的研究分支，在實際工程領域有著廣泛的應用，例如飛機的最優型設計、大氣污染控制、大型柔性結構的波動控制等許多方面都需要借助最優控制模型來分析和解決實際問題。這類問題實際上是控制變量受約束的無窮維最優控制問題。其精確解很難通過解析的方式求出來，因此研究其數值近似求解方法顯得尤為重要. 這類問題的難點是最優控制問題中的控制變量受到偏微分方程的約束， 數值求解需要結合偏微分方程的離散方法和優化算法。目前數值求解最優控制問題的思路有兩種：一種是先優化后離散，另外一種是先離散后優化，該文采用的是后者。

　　對橢圓型最優控制問題的研究，已經涌現出了許多的研究成果[1-3]，與這些成果不同的是，該文考慮了更加復雜的情況，也就是區域帶有界面. 由于界面的存在，傳統的有限元方法得不到最優精度，因此該文采用浸入有限元方法[4]。針對離散后的最優性條件，該文考慮了兩種情況：一種是帶約束，一種是不帶約束，分別給出了優化的算法。對控制無約束的情況，離散系統是對稱非正定的方程組，采用塊對角預處理MINRES算法求解。對控制帶約束的情形，采用不動點迭代算法求解非線性非光滑的算子方程。數值例子驗證了數值優化算法是有效的。

　　1 問題模型和最優性條件

　　考慮最優控制問題。

　　(1)

　　對所有的滿足橢圓界面問題

　　-?.(β(x)?y(x))=u(x)Ω/Γ內

　　上

　　弱形式：最優控制問題(P)：

　　滿足狀態方程的約束以及控制約束。

　　問題(P)存在唯一的最優控制、狀態和伴隨態滿足狀態方程：

　　伴隨方程：

　　和變分不等式：

　　另外，變分不等式等價于投影方程：這里代表在區間[ua，ub]上的投影。 狀態方程、伴隨方程和變分不等式共同0組成了問題(P)的最優性條件，即原問題(P)等價于最優性條件。

　　橢圓界面最優控制問題的優化算法

　　接下來進行數值離散，由于界面的存在，為了避免離散精度的損失，采用浸入有限元[5]進行離散，再結合變分離散[6]可得到離散后的最優化問題如下：

　　問題()：對所有受控于(為浸入界面有限元空間[4])，且控制滿足約束條件ua≤u≤ub類似于問題(P)，問題()具有唯一最優解：控制，相應的狀態 和伴隨態分別滿足狀態方程：

　　伴隨方程：

　　和變分不等式：

　　且變分不等式等價于投影方程. 通過轉化，要求問題()的解，只需求解上面3個方程，即狀態方程、伴隨方程和投影方程。

　　2 優化算法

　　在這一節，我們給出求解有限維最優控制問題()最優解的優化算法實現細節。

　　在控制無約束情況，投影方程變成，它的向量形式是。因此，我們得到下面的大型線性方程組：

　　這個方程組是對稱但是非定的， 因此我們用MINRES方法求解它。為了得到較好的收斂性， 我們先采用了一個塊對角的預處理子[7]， 即：

　　在的情況(帶控制約束的情況)， 問題()的最優性條件可以寫成關于控制的非光滑算子方程然后采用不動點迭代算法求解這個非光滑且非線性方程。

　　算法步驟如下。

　　(1)給定初始值

　　(2)通過求解， 得到。

　　(3)通過求解得， 到。

　　(4)通過投影方程得到， 其中。

　　(5)如果|u0-u1|≤1.0×10-6，那么令， 否則u0=u1令并重復步驟2。

　　在步驟2，經過若干次迭代后不再屬于原空間，因此方程作為右端項是不再有效的。有些單元被控制可行集的邊界切割成多個小的單元，函數在這些單元上是分片線性的。為了計算右端項的積分， 我們把單元按照可行集邊界分割成多個子單元，然后在子單元上分別進行數值積分。上面算法在α足夠大的時候是收斂的。

　　3 數值算例

　　算例1。考慮界面是是以原點為中心半徑的圓，在這個例子中， 我們選擇，和。在這個例子中我們構造了精確的最優解。數值解誤差估計的結果如下圖所示，從圖1可以看出該文的離散方法和優化方法得到的誤差(實線)比用傳統有限元誤差(虛線)收斂要快。本文的優化數值方法是有效的。

　　算例2。把算法應用到一個復雜的五角星界面問題上， 這個例子是復合材料上穩態熱傳導過程的優化問題上， 間斷系數代表不同介質材料的導熱系數函數 代表外部的熱源。我們需要優化的問題就是尋找合適的熱源來控制復合材料的溫度使得復合材料上處處都能達到同樣的理想溫度。如果沒有界面， 解看起來像一個梯形棱柱， 它的底部滿足偏微分方程的齊次邊界條件。當時， 狀態的解在界面外趨于平緩， 這是因為， 反之亦然。解的數值模擬如圖2所示。

　　參考文獻

　　[1] Solaymani Fard O， Borzabadi A H， Sarani F. An adaptive semismooth Newton method for approximately solving control-constrained elliptic optimal control problems[J].Transactions of the Institute of Measurement & Control，2019，41(11)： 3010-3020.

　　[2] Xu Y， Chen X. Optimized Schwarz Methods for the Optimal Control of Systems Governed by Elliptic Partial Differential Equations[J].Journal of entific Computing，2019，79(2)：1182-1213.

　　[3] 蘇夢雅.橢圓偏微分方程分布與Neumann邊界控制約束問題的有限體積元方法[D].南京師范大學， 2019.

　　[4] 張倩.幾類PDE約束最優控制問題的數值方法研究[D].南京師范大學，2016.

　　[5] Guo R， Lin T. An immersed finite element method for elliptic interface problems in three dimensions[J]. Journal of Computational Physics， 2020(414)：109478.

　　[6] Tang Y， Hua Y. Convergence and superconvergence of variational discretization for parabolic bilinear optimization problems[J]. Journal of Inequalities and Applications，2019(1)：1-13.

　　[7] Salahuddin S. On Convergence Rate of a Splitting Operator Method for Variational Inclusions[J]. Advances in Nonlinear Variational Inequalities， 2018，21(1)：30-39.[1] 2

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