摘 要： 針對傳統電磁場數值計算系統的計算結果與理論值的均方誤差較大的問題，設計基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統。在傳統計算系統硬件的基礎上，設計以FPGA為核心的積分計算系統硬件。以設計的系統硬件部分為基礎，設計系統的軟件部分。使用傅里葉變換將頻域電磁場信號轉換為時域信號，根據留數定理，編寫程序對時域內的電磁信號函數積分求解，完成對計算系統的設計。通過與傳統的電磁場數值計算系統的對比實驗，證明了設計的基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統的均方誤差更小，更具有優越性。

　　關鍵詞： 時域; 電磁場數值; 積分計算; 系統設計; 留數定理; 傅里葉變換

　　0 引 言

　　奧斯特發現通電磁體周圍存在磁場，建立了電磁場理論。電磁場是一種由帶電物體上的電荷運動產生的磁場，是電場和磁場相互依存、不斷聯系的統一體。在電磁場中，能量以電磁波的形式存在。電磁場廣泛應用在機電能量轉換、電力系統、通信、生物電磁學、電磁兼容以及信息存儲等工程領域。隨著近代科學的不斷發展，麥克斯韋建立的電磁場理論不斷被完善，求解電磁場數值的方法不斷發展，有限差分法、時域有限差分法、有限元法和矩量法是電磁場數值方法中比較重要的幾種方法[1?2]。計算機科學的快速發展使這些電磁場數值計算方法被大量的應用。傳統的差分電磁場計算系統在對電磁場數值積分計算時受自身局限性影響，不能對開區域電磁場的連續分布分量進行求解。

　　留數定理是根據柯西定理在復分析中用來計算積分或曲線路徑。留數定理通過在函數孤立奇點的鄰域內展開洛朗級數，經過逐項積分得到近似解[3]。留數定理能夠提高積分計算精度，簡化計算過程。因此，本文設計基于留數定理的時域電磁場數值計算系統。

　　1 基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統硬件設計

　　在原有系統硬件基礎上設計基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統的硬件部分，采用FPGA作為硬件部分的核心，利用FPGA芯片內部集成的大量可編程資源實現計算系統對數值計算高精度的要求。

　　ALTERA公司的FPGA開發板如圖1所示，該開發板上的FPGA芯片內存為270 KB，具有15個18×18 Multipliers乘法器、10個時鐘單元以及179個I/O接口。片內的SPI FLASH可以存儲FPGA的配置文件以及計算過程中的緩存數據[4]。開發板上的JTAG接口可以通過該端口對FPGA進行調試和程序固化。配置復位按鍵，可以在二次計算校驗時，一鍵復位，避免重新下載相關程序。

　　FPGA通電后需要對FPGA進行配置，在設計系統階段本文采用JPGA模式配置FPGA。存儲在串行的PROM中的配置文件經過JPGA串口，在配置時鐘信號CCLK控制下執行配置操作。按照圖2配置所示，將配置文件存儲在PC機中。經過JPGA串口，從PC機處讀取配置文件并存入SRAM，實現對FPGA的配置[5]。基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統運行時，使用具有32位地址總線的PLB總線實現FPGA與PC機之間的通信。當執行軟件任務時，PC端將處理完畢的時域電磁場信號轉換后，輸入到FPGA完成積分計算。

　　2 基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統軟件設計

　　2.1 電磁場數值時域轉換處理

　　電磁場時域數值積分計算系統利用電磁場強度采集器采集電磁場強度信號。該信號是在頻域上的電磁場強度信號，為方便使用留數定理計算電磁場數值，需要對采集器信號進行頻域?時域轉換[6?7]。

　　采用傅里葉變換法將頻域電磁場數值轉換為時域電磁場數值。將電磁場數值函數看作一個線性不變的系統，則頻域與時域之間的轉換關系如下：

　　[ht=12π-∞+∞Hωeiωtdω] (1)

　　式中：[t]為時域時間，單位為[s];[ω]為頻域下電磁場運行時的角頻率，單位為[rad/s];[H]為當前電磁場運行時的磁場強度，單位為[Am];[i]為復數下的虛數單位，滿足[i2=1，i<0]。傅里葉變換下電磁場數值的時域與頻域的對應關系如圖3所示[8?9]。

　　傅里葉變換使用正弦波疊加完成，隨著疊加的遞增，正弦波中上升部分讓原本增加的曲線不斷變陡，而下降部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分，使其變為水平線，最終疊加形成一個矩形，多個矩形連接就變成了時域上的脈沖信號[10?11]。

　　傅里葉變換將復頻域內的信號函數投影至實數空間的頻域中，再將信號函數的各頻率進行成分累計，轉換成時域上的信號。因此，只要確定了頻域中電磁場的磁場強度就可以通過傅里葉變換，轉換為時域中的信號[12?13]。

　　根據麥克斯韋的微分方程，在時域內使用中心差分法近似離散得到直角坐標下的麥克斯韋方程，如下：

　　[?Hz?y-?Hy?z=ε?Ex?t+σEx?Hx?z-?Hz?x=ε?Ey?t+σEy?Hy?x-?Hx?y=ε?Ez?t+σEz?Ez?y-?Ey?z=-μ?Hx?t?Ex?z-?Ez?x=-μ?Hy?t?Ey?x-?Ex?y=-μ?Hz?t] (2)

　　式中：[E]為產生電磁場的電場強度，單位為[Vm];[ε]為電磁場中電磁介質的磁導率;[σ]為電磁場中電磁介質的介電常數;[μ]為電磁場中電磁介質的電導率[14]。使用傅里葉變換對電磁場數值做時域轉換，并得到差分形式的麥克斯韋方程后，根據留數定理，求解時域電磁場數值積分結果。

　　2.2 留數定理求解時域電磁場數值積分

　　電磁場數值函數路徑會圍成一個封閉或半封閉的區域，留數定理是將除區域上的有限個奇點外的區域解析。即若電磁場數值函數路徑圍成區域為[B]，區域[B]上有限個孤立奇點[b1，b2，…，bn]，則函數[fz]圍成路徑的積分計算形式如下：

　　[lfzdz=2πij=1nRes fbj] (3)

　　式中：[z]為時域下電磁場數值函數的變化量;[Res fbj]為時域電磁場數值函數圍成區域[B]上的留數點函數[15]。根據上述定理，編寫計算器的計算程序，完成使用留數定理計算時域電磁場數值積分計算。

　　3 實 驗

　　為驗證本文設計系統的性能，設計了相關對比實驗。

　　3.1 實驗內容

　　實驗測試組為本文設計的基于留數定理的時域電磁場數值積分計算系統，參考組為傳統的電磁場數值計算系統。實驗對比指標為2組系統計算時域電磁場數值的均方誤差。對比實驗對象為矩形區域內不同強度的電磁場。

　　3.2 實驗準備

　　選用矩形金屬槽，使用電磁場實驗儀在金屬槽內產生電磁場。通過電平控制輸入電流的大小來控制電磁場的強度。實驗環境見圖4。

　　將電磁場強度采集器放置在指定位置，在實驗過程中，由采集器將采集的電磁場強度輸入測試組和參考組兩個計算系統中，完成對電磁場數值的計算。在計算機上安裝數據處理軟件，分析兩組計算系統的均方誤差，并輸出。

　　3.3 實驗結果

　　實驗結果見圖5，曲線A為傳統系統計算電磁場數值的均方誤差曲線，曲線B為本文設計系統計算電磁場數值的均方誤差。

　　由圖5可知，曲線A要遠遠高于曲線B，兩條曲線的整體趨勢都是先上升后下降;曲線A是先增加再減小，然后小幅度的增加后一直減少，曲線A和曲線B都減小到一定數值后不再變化，但是曲線A的最低值要高于曲線B的最低值;曲線A波動較大，曲線B比較平穩。相比傳統系統，本文設計系統的計算均方誤差更小，更具有優越性。

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