【摘要】問題驅動教學，教學培養學科素養.問題始終伴隨著數學教學，特別是概念教學，更應該注重與學生思維的連接.本文通過問題的設計，以核心素養為引領，旨在促進學生對數學定義的理解、對數學知識的掌握，推動數學核心素養的提高.

　　【關鍵詞】問題驅動;數學核心素養;數學知識的掌握

　　問題是促使數學發展的源動力，數學上許多基本的、核心的概念與原理都是為了解決許許多多的實際問題而產生的.因此，在教學中教師應以問題為中心，讓學生在解決問題的過程中形成相應的概念與原理.《普通高中數學課程標準(2017版)》指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人發展的過程中發揮著不可替代的作用，數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養.因此，每一節數學課都蘊含著提高學生科學素養的目的，也體現了學科育人的目的.本文著力于以數學核心素養為導向，滲透在任意角的三角函數定義的每一個環節，精心設計問題，旨在提高學生的數學核心素養.

　　一、任意角的三角函數定義的教學過程

　　1.情境引入，引出問題

　　問題1 點P為摩天輪上的任意一點，如何表示點P的位置?

　　設計意圖：在摩天輪模型中，通過對一點的觀察與分析，引導學生能夠用(x，y)和(r，α)兩種方式準確描述出點的位置，并初步體會到兩者之間的關系，提高學生的觀察能力.

　　問題2 在直角坐標系xOy中，同一點P的坐標(x，y)和(r，α)之間有什么關系?為什么?

　　設計意圖：引導學生了解在坐標系中研究點的位置時，P點在第一象限時有如下結論：sin a=yr，

　　cos a=xr，r2=x2+y2，tan α=yx等，并讓學生聯想初中學過的三角函數的定義.

　　2.回顧舊知，找尋本質

　　問題3 在初中，銳角A的正弦、余弦、正切值分別是如何定義的?

　　學生通過回憶：銳角A的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)都叫作角A的銳角三角函數.

　　正弦(sin)等于對邊比斜邊：sin A=ac，

　　余弦(cos)等于鄰邊比斜邊：cos A=bc，

　　正切(tan)等于對邊比鄰邊：tan A=ab.

　　設計意圖：從學生原有的認知結構出發，為推廣任意角的三角函數做準備.

　　通過前兩問的引導，學生已經初步回憶起了銳角三角函數值的定義.教師此時再發問，學生可以回答得順理成章，也為本節課的任意角的三角函數進行引入.

　　問題4 在直角坐標系中，30°角的三角函數值怎么求?

　　設計意圖：將角置于直角坐標系中時，學生會想到初中學過的三角函數的幾何定義，并取自己熟悉的30°角的直角三角形，在其斜邊上取點，取點依據是30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.教師帶領學生得出特殊點，比如P(3，1)，接著教師提問：還可以取其他點求嗎?探究發現：在30°角終邊上任取一點(x，y)，這些比值都相等;只要角確定，終邊就確定;只要角的終邊確定，三角函數值就不變;可以用坐標表示銳角三角函數等結論.

　　3.積累素材，建構數學

　　問題5 在直角坐標系中，你認為390°角的三角函數值怎么定義?

　　設計意圖：教師引導學生繼續回到摩天輪模型中討論，結合直角坐標系，得出390°和30°兩角終邊相同，三角函數值也對應相等.教師創設認知沖突的情境，引導學生通過討論摒棄原先的概念，讓學生通過求390°角的三角函數值，體會用坐標來表示三角函數的必要性和合理性，提高學生的探索能力，為引入任意角的三角函數的定義做準備.

　　問題6 如何定義3π4角的三角函數值?

　　設計意圖：有了390°角三角函數的求法經驗，學生可以在角的終邊上選點，按照坐標相應比值來計算，通過操作用坐標來表示3π4的三角函數值，感受新定義的運算.

　　問題7 如何定義任意角的三角函數?(給出任意角的三角函數的定義)

　　經過討論發現對于任意角α，在其終邊上任意取一點P(x，y)，比值yr，xr，yx都是唯一確定的，因此得到

　　f1：α→yr——正弦：sin α=yr;

　　f2：α→xr——余弦：cos α= xr;

　　f3：α→yx——正切：tan α=yx(x≠0).

　　設計意圖：學生通過討論能夠說出任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義，體會坐標思想，體驗數學概念的推理過程，樹立勇于探索、善于發現的創新意識.

　　4.函數思想，加深理解

　　問題8 sin α，cos α，tan α是α的函數嗎?

　　通過回顧函數的定義，討論得出結論：對于確定的角α，比值yr和xr都是唯一確定的，故正弦和余弦都是角α的函數.當α≠π2+kπ(k∈Z)時，對于確定的角α，比值yx也是唯一確定的，故正切也是角α的函數.sin α，cos α，tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數、正切函數，以上三個函數我們都稱為三角函數.

　　設計意圖：讓學生結合函數的定義，分析得出三角函數是函數，將三角函數統一理解.

　　問題9 sin α，cos α，tan α的符號如何確定?

　　利用任意角的三角函數定義，根據角的終邊的位置判斷任意角的三角函數值的符號.

　　設計意圖：通過函數的概念類比得到任意角的三角函數定義，對“任意角的三角函數”的概念有進一步的理解.

　　5.例題解決，鞏固所學

　　例1 已知角α的終邊經過點P(2，-3)，求α的正弦值、余弦值、正切值.

　　例2 確定下列三角函數值的符號.

　　(1)cos 7π12 ;(2)sin(-465°) ;(3)tan11π3.1

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