小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過(guò)近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。
    小波(Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問(wèn)題，成為繼Fourier變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。
一、小波分析原理及其數(shù)學(xué)描述
小波分析是一種窗口大小（即窗口面積）固定但其形狀可改變，時(shí)問(wèn)和率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率較低的時(shí)間分辨率，即在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。
二、小波去噪原理
運(yùn)用小波的多分辨分析特性進(jìn)行信號(hào)、圖像的去噪處理是小波分析的重要應(yīng)用之一。
在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)。
小波閾值去噪的處理方法一般有以下三種：
1）強(qiáng)制去噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)榱悖椿谛〔ǚ治龅能嚺谱R(shí)別系統(tǒng)研究把高頻部分全部濾掉，然后在對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理；這種方法比較簡(jiǎn)單，重構(gòu)后的去噪信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成分；
2）閾值去噪處理。該方法利用ddencmp函數(shù)產(chǎn)生信號(hào)的默認(rèn)閾值，然后利用wdencmp函數(shù)進(jìn)行去噪處理；
3）給定軟（或硬）閾值去噪處理，閾值往往可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得，而且這種閾值比默認(rèn)閾值更具有可信度。
三 、小波去噪的研究
噪聲通常被認(rèn)為是有害信號(hào)，一般情況下應(yīng)被抑制，然而，噪聲中也可能包含許多有用信息，如機(jī)電一體化設(shè)備運(yùn)行中所產(chǎn)生的噪聲，就在一定程度上包含了反映其工作情況，狀態(tài)信息或參數(shù)等內(nèi)容，因?yàn)檫@些設(shè)備在運(yùn)行時(shí)，其中力、速度、加速度的變化以及振動(dòng)的振幅、頻率等信息都會(huì)以噪聲的形式表現(xiàn)出來(lái)。如果能采集、記錄到這樣的噪聲信號(hào)并對(duì)其進(jìn)行必要的處理，就能從中提取到機(jī)電設(shè)備的工作情況、狀態(tài)參數(shù)等重要信息，還能以此作為我們對(duì)其進(jìn)行監(jiān)控的手段之一。利用噪聲信號(hào)中的有用信息進(jìn)行機(jī)電設(shè)備的故障診斷或狀態(tài)監(jiān)控，關(guān)鍵之處就是要對(duì)它進(jìn)行合適的處理，因?yàn)樵谏a(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)所采集到的噪聲信號(hào)非常繁雜且數(shù)據(jù)量很大，這其中有不少是無(wú)用數(shù)據(jù)，若不進(jìn)行處理的話，很難獲得我們想要的信息。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，所分析的信號(hào)可能包含許多尖峰或突變部分，并且噪聲也不是平衡的白噪聲，對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行分析，首先需要作信號(hào)的預(yù)處理，將信號(hào)的噪聲部分去除，提取有用信號(hào)。對(duì)這種信號(hào)的消噪，傳統(tǒng)的傅里葉變換顯得無(wú)能為力，因?yàn)楦道锶~分析是將信號(hào)完全在頻率域中進(jìn)行的，它不能給出信號(hào)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的信號(hào)變化情況。而小波分析由于能同時(shí)在時(shí)、頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，所以它能有效地區(qū)分信號(hào)中的突變部分和噪聲，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的消噪。
1、小波分析用于降噪的過(guò)程
小波分析用于降噪的過(guò)程，可細(xì)分為如下幾段。
1）分析過(guò)程：選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波（小波包）分解；
2）作用閾值過(guò)程：對(duì)分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理；
3）重建過(guò)程：降處理后的系數(shù)通過(guò)小波（小波包）重建恢復(fù)原始信號(hào)。
這個(gè)過(guò)程基于下如基本假設(shè)，即攜帶信息的原始信號(hào)在頻域或小波域的能量相對(duì)集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號(hào)分析系數(shù)的絕對(duì)值比較大，而噪聲信號(hào)的能量譜相對(duì)分散，所以其系數(shù)的絕對(duì)值小，這樣我們就可以通過(guò)作用閾值的方法過(guò)濾掉絕對(duì)值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達(dá)到降噪的效果。
2、用小波分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)消除噪聲
在一個(gè)方波信號(hào)上加入一個(gè)高斯白噪聲，再將其分別用小波分析和傅里葉變換進(jìn)行信號(hào)噪聲消除。
1）小波基的選擇：
作為小波的函數(shù) ，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，但若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面往往只能取一個(gè)折中。此外，希望由母小波 形成的 是兩兩正交的；進(jìn)一步希望 有高階的消失矩，希望與 相關(guān)的濾波器具有線性相位等等。這里選擇的是sym小波，又稱為正交小波，它是雙正交小波，并是緊支撐的，且 接近對(duì)稱（故所用的濾波器可接近于線性相位）。
2）小波多尺度分解各子帶系數(shù)的特點(diǎn)及噪聲影響
對(duì)圖像的小波變換覆蓋了圖像頻帶90%的小波系數(shù)集中在2¹、2²、2³它們包含了大部分圖像信息，所以可以只考慮這三個(gè)尺度的信息，而尺度2^j> 2³ 的信息保留在圖像的低頻分量中。隨著層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來(lái)越大，說(shuō)明較低層的小波系數(shù)具有更重要的地位。分辨率最低時(shí)，該子帶小波系數(shù)的范圍比別的子帶小波系數(shù)范圍寬，值和方差都比別的要大，說(shuō)明這些小波系數(shù)同樣具有重要地位。
在各個(gè)子帶做特征提取之前，應(yīng)首先考慮圖像中噪聲對(duì)子帶系數(shù)的影響。根據(jù)Donoho 的理論對(duì)含噪圖像連續(xù)做幾次小波分解之后，由空間分布不均勻的干凈圖像所對(duì)應(yīng)的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大的值，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)干凈圖像的畸變位置和重要信息，而其它大部分位置的值較小；對(duì)于白噪聲而言，它對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加，系數(shù)的幅值有所減小。可以看出，噪聲的影響主要集中在最高頻子帶中。因此考慮消噪問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)噪聲小波分解的系數(shù)的特點(diǎn)找一個(gè)合適閾值λ，把低于λ的小波系數(shù)視為主要由噪聲引起的設(shè)為0，而高于λ的予以保留，對(duì)最高頻子帶可提高閾值以減少噪聲影響。
 
參考文獻(xiàn)
[1]胡廣書，現(xiàn)代信號(hào)處理教程，清華大學(xué)出版社，2004